\subsection{Umbral de decisión del detector óptimo}

Sea una modulación PAM con $M=2$ y símbolos $x_i \epsilon [-A, A]$ con probabilidades a priori $p$ y $q = 1-p$ respectivamente.

Un sistema de comunicación binario transmite una de dos señales, digamos 'A' o '-A', a las cuales les agrega ruido inherente al canal, el cual puede ser modelizado
como AWGN. Si no existiera ruido, la salida será 'A' si fue transmitido 'A' y '-A' si fue transmitido '-A'. No obstante, el ruido puede causar que la tensión
recibida sea algún otro valor.

Pensando el problema como un test de hipótesis en el cual se define a $H_o$ y $H_1$ como siguen

$H_o$ : se transmitió un 'A'

$H_1$ : se transmitió un '-A'

Donde para cada hipótesis tenemos una o mas observaciones que son variables aleatorias y la decisión se basara en dicho valores observados. La regla de decisión que
se utilizará contemplará maximizar el rendimiento de la medición.

Si la señal que obtenemos a la salida del canal se define como

\begin{equation}
 R = s_i + N = \pm A + N
\end{equation}

Donde $s_i$ es la señal transmitida, en este caso 'A' o '-A', con $i \epsilon [0,1]$, y N es ruido Gaussiano con media nula y desvió $\frac{N_o}{2}$ cuya distribución es

\begin{equation}
 f_N(x) =  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{\left( \frac{N_o}{2}\right)}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{4x^2}{\left(N_o\right)}}
\end{equation}

Ahora bien, las funciones de densidad marginal las podemos calcular fácilmente

\begin{equation}
 f_{R/H_o} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x -A)^2}{\left( \frac{N_o}{2}\right)}} 
\end{equation}

\begin{equation}
 f_{R/H_1} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x + A)^2}{\left( \frac{N_o}{2}\right)}} 
\end{equation}

Para poder establecer nuestra regla de decisión, podríamos definir como aceptable que nos inclinaríamos por $H_o$ si la probabilidad a posteriori 
$P(H_o|r)$ es mayor que la probabilidad $P(H_1|r)$ y viceversa. Donde se $P(H_o|r)$ y $P(H_1|r)$ se denominan probabilidades a posteriori de que la 
hipótesis $H_i$ sea verdad basado en la observación $r$.


En resumen nuestra regla decisión quedaría:


Elegir $H_o$ si $P(H_o|r)>P(H_1|r)$

Elegir $H_1$ si $P(H_1|r)>P(H_0|r)$

Lo cual puede resumirse como

\begin{equation}
 \frac{P(H_1|r)}{P(H_o|r)} \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}} 1
\end{equation}

Lo cual significa, elegir $H_1$ cuando el cociente es mayor a 1 y elegir $H_o$ cuando el cociente es menor a 1.

Utilizando Bayes, se puede representar como 

$$P(H_i|r) = \frac{f_{R|H_i}(r) P(H_i)}{f_R(r)}$$

Por lo cual la regula de decisión anterior nos queda:

\begin{equation}
 \frac{f_{R|H_1}(r) P(H_1)}{f_{R|H_0}(r) P(H_0)} \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}} 1
\end{equation}

En nuestro caso tendremos que $P(H_o) = p$ y $P(H_1)=1-p$

Por lo que la regla de decisión finalmente nos quedará

\begin{equation}
 \frac{f_{R|H_1}(r) P(H_1)}{f_{R|H_0}(r) P(H_0)} = \frac{p}{1-p} exp\left[ \frac{(r+A)^2 - (r - A)^2}{2\left( N_o/2 \right)} \right] \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}} 1
\end{equation}

Luego, nos quedará

\begin{equation}
\frac{(r+A)^2 - (r - A)^2}{2\left( N_o/2 \right)} \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}} ln \left( \frac{1-p}{p} \right) \rightarrow A\cdot r \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}} \frac{1}{4} N_o ln \left( \frac{1-p}{p} \right)
\end{equation}

De la última expresión queda claramente definido umbral entre las dos regiones

\begin{equation}
 \tau_{h} = \frac{1}{4} N_o ln \left( \frac{1-p}{p} \right)
\end{equation}

El término $A\cdot r$ se lo denota métrica de correlación (\textit{metric correlation}) y se compara contra el umbral anterior. Si $A\cdot r > \tau_{h}$  entonces se 
decide que fue transmitido $s_0 = A$. Si $A\cdot r < \tau_{h}$  se decide que se transmitió $s_1 = -A$

Una última observación nos muestra que si las probabilidades a priori son $p = 1/2$ el umbral será $\tau_h = 0$. Si $p>1/2$ la señal $s_o$ es más probable y en consecuencia
el umbral será menor a cero $\tau_h < 0$. Si $p<1/2$ la señal $s_1$ es más probable y en consecuencia el umbral será mayor a cero $\tau_h > 0$ 


\subsection{Probabilidad de error}
De la regla de decisión analizada en la sección anterior, podemos concluir que existen cuatro posibilidades

\begin{equation}
 \frac{f_{R|H_1}(r) P(H_1)}{f_{R|H_0}(r) P(H_0)} \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}} 1
\end{equation}


\begin{enumerate}
 \item Elegir $H_o$ cuando $H_o$ es verdadera
 \item Elegir $H_1$ cuando $H_1$ es verdadera
 \item Elegir $H_1$ cuando $H_o$ es verdadera
 \item Elegir $H_o$ cuando $H_1$ es verdadera
\end{enumerate}

Si $D_i$ representa la decisión en favor de $H_i$, entonces las primeras dos probabilidades condicionales denotadas por $P(D_0|H_0)$ y $P(D_1|H_1)$ corresponden
a las decisiones correctas. Las últimas dos, $P(D_1|H_0)$ y $P(D_0|H_1)$ corresponden a las decisiones incorrectas. El error 3 es llamado del 'tipo I' y en terminología de radar
se lo denomina 'probabilidad de falsa alarma'; y el error 4 es llamado del 'tipo II' que se denomina 'probabilidad de un fallo'. Luego, la probabilidad promedio del error será

\begin{equation}
 P_e = P(H_o)P(D_1|H_0) + P(H_1)P(D_0|H_1)
\end{equation}

El error del tipo I lo podemos calcular como

\begin{equation}
 P(D_0|H_1) = \int_{R_0} f_{R|H_1}(r)dr = \int_{-\infty}^{\tau_h} f_{R|H_1}(r)dr = Q\left( \frac{\tau_h + A}{\left( \frac{N_0}{2} \right)} \right)
\end{equation}


El error del tipo II lo podemos calcular como

\begin{equation}
 P(D_1|H_0) = \int_{R_1} f_{R|H_0}(r)dr = \int_{\tau_h}^{\infty} f_{R|H_0}(r)dr = 1 - \int_{-\infty}^{\tau_h} f_{R|H_0}(r)dr = 1- Q\left( \frac{\tau_h - A}{\left( \frac{N_0}{2} \right)} \right)
\end{equation}

Finalmente la expresión del error nos quedará

\begin{equation}
 P_e = p \cdot  \left(1- Q\left( \frac{\tau_h - A}{\left( \frac{N_0}{2} \right)} \right)\right) + (1-p) \cdot Q\left( \frac{\tau_h + A}{\left( \frac{N_0}{2} \right)} \right)
\end{equation}


\subsection{Sub ejercicio 3}

En el apéndice se anexan los scripts MATLAB utilizados en la simulación.



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